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一、（1）y'=4-2x，y''=4>0，因此函数在R上恒为下凸函数
（2）y'=arctanx+x/(1+x^2)，y''=1/(1+x^2) + [(1+x^2)-2x^2]/(1+x^2)^2
=2/(1+x^2)^2 > 0，因此函数在 R 上恒为下凸函数
二、（1）y'=3x^2-10x+3，y''=6x-10，令 y''>0 得 x>5/3，令 y''<0 得 x<5/3，
所以函数在（-∞，5/3）上为上凸函数，在（5/3，+∞）上为下凸函数，
拐点为（5/3，20/27）。
（2）y' = 2x/(x^2+1)，y '' = [2(x^2+1)-2x*2x]/(x^2+1)^2=2(1-x^2)/(1+x^2)^2，
令 y ''>0 得 -1<x<1，令 y''<0 得 x<-1 或 x>1，
因此函数在（-∞，-1）上为上凸函数，在（-1，1）上为下凸函数，在（1，+∞）上为上凸函数，
拐点为（-1，ln2）和（1，ln2）。
例如：
y=x^4-6x?-5
y'=4x?-12x
y"=12x-12
=12(x-1)
y">0,x>1
凹区间：(1,+∞)
y"<0,x<1
凸区间：(-∞,1)
y"=0,x=1
y=1-6-5=-10
拐点：(1,-10)
y=2x/(1+x?)
y'=[2(1+x?)-2x(2x)]/(1+x?)?
=2(1-x?)/(1+x?)?
y"=2[(-2x)(1+x?)?-2(1-x?)(1+x?)(2x)]/(1+x?)^版4
=2[-2x-2x?-4x+4x?]/(1+x?)?
=4x(x?-3)/(1+x?)?
=4x(x+√权3)(x-√3)/(1+x?)?
y">0,-√3<x<0或x>√3
凹区间：(-√3,0)U(√3,+∞)
凸区间：(-∞,-√3)U(0,√3)
y"=0
x=-√3,y=-√3/2
x=0,y=0
x=√3,y=√3/2
拐点：(-√3,-√3/2),(0,0),(√3,√/2)
扩展资料：
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
⑴求f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点，检查f''(x)在左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，点(,f())是拐点，当两侧的符号相同时，点(,f())不是拐点。
百度百科-拐点
如下：
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0;f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;
一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。
(1）函数的二阶导数为y"=e^x>0,故函数为凹函数,因y"=e^x>0,则函数无拐点
(2)函数的二阶导数y"=-sinx
-sinx在区间[0,pi）恒小于等于0,当且公当，x=0时为零，
-sinx;在区间(pi,2pi]大于等于0，当且公当，x=2pi时为零，
则y=sinx在区间[0,pi）为凸函数;在区间(pi,2pi]为凹函数
函数y=sinx在[0,2pi]上均连续，
x=pi处左右凹凸性改变，即，x=pi为函数的拐点
(3)函数的二阶导数为y"=-2/9x^(5/3)
当x>0,时y"<0;当x<0,时y">0
当x>0,函数为凸函数;当x<0,函数为凹函数
函数在x=0处，y=0,连续，并且，当x>0,时y"<0;当x<0,时y">0
则点(0,0)是函数的一个拐点
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